Grafik-Trick – Linearisierung

Zu Beulen & Marotten passt dieses Thema:

Der Druck verhält sich umgekehrt zum Volumen. Es liegt eine sogenannte indirekte Proportionalität vor: Trägt man nun die Messwerte als Punkte ins V-p-Koordinatensystem ein, erhält man das links dargestellte Diagramm. Die anfänglich sehr hohen Druckwerte laufen mit zunehmendem Volumen gegen Null aus. Solche in der Physik sehr oft anzutreffende Kurven heißen Hyperbeln.

Die Frage ist: Liegt hier eine Proportionalität vor?
Mit einem PC und etwas Mathematik lässt sich das schnell nachprüfen. Unmittelbar ansehen kann man das der Kurve jedoch nicht.

Man kann aber gut erkennen, ob Messpunkte entlang einer Geraden liegen. Die nächste Frage lautet daher: Lässt sich der V-p-Graph linearisieren?  Ja, mit einem einfachen Trick.

Der Druck p ist umgekehrt proportional zum Volumen V.

Sieht man es so: p ist direkt proportional zum Wert 1/V, versteht man das Ganze als direkte Abhängigkeit und die zeigt sich bekanntermaßen in einer Geraden als Graph.

Bildet man die V-Skala in eine 1/V-Skala ab und trägt die entsprechenden  (1/V, p)-Wertepaare ein, erhält man das Diagramm rechts.

Wenn der gemessene Zusammenhang, hier zwischen Druck p und Volumen V in einem abgeschlossenen Volumen, eine indirekte Proportionalität der Größen ergibt, liegen die Messpunkte bei dieser Darstellung auf einer Geraden. Und das kann man ohne weitere Hilfsmittel mit Lineal und Bleistift einfach prüfen.

Interpolation: Punkte aus realen Messungen liegen nie exakt auf z.B. einer Geraden. Die wird daher zu allen Messpunkten „vermitteln“ eingetragen, wie es im rechten Diagramm dargestellt ist. Das nennt man Interpolation und ist ein Standardverfahren bei der Auswertung.

Mehr noch: Die einfach zu bestimmende Steigung einer Geraden entspricht dem konstanten Proportionalitäts-Faktor, spiegelt hier also die Bedeutung der „8“ in Beulen und Marotten wieder. Man kann sich leicht vorstellen, wie sehr eine messende Zunft wie die Physik im Vor-Computer-Zeitalter auf diese Methode angewiesen war. Am Ende wurde auch damals gerechnet, die Grafik war aber ein wichtiges Hilfsmittel für den Überblick über die Gesamtzusammenhänge.

“Linearisierungen“ gibt es bei zahlreichen Abhängigkeiten. Die bekannteste ist wohl die bei exponentiell wachsenden Größen. Anstatt die Werte selbst trägt man ihren Exponenten zu einer passenden Basis ein, mathematisch ist dies der sogenannte Logarithmus. Beispiel:

Aus den Werten:   werden einfach: 1, 1,0815, 2 usw. Damit erhält man ebenfalls ein Gerade auf der die abgeleiteten neuen Messpunkte, also: 1, 1,0815  usw. liegen.