Hydrostatisches Paradoxon - jetzt mal anschaulich

Mein Sohn paukt gerade für eine Physik-Klausur. Zu meinem Erstaunen ist eines meiner Lieblingsthemen, Flüssigkeiten & Gase, auch heutzutage nicht ganz vergessen - vielleicht liegt das am geheimnisvollen Hydrostatischen Paradoxon, eben für Flüssigkeiten.

Bergmann und Schäfer haben mit ihrem großartigen Physik-Lehrwerk so etwa in den 60er-Jahren offenbar ganze Arbeit geleistet, denn wo immer mir das Paradoxon mit den "schrägen" Gefäßen unterkam, griffen die Physiklehrenden zu dieser Abbildung aus deren Band IExperimentalphysik, hier noch leicht ergänzt: Pascalscher Apparat»Q-Bergmann-Schäfer

Grafisch (Vor-Computerzeitalter!) gibt die Abbildung wenig her, viele Detail gibt es ja auch nicht. Insofern: okay!
Die Erklärung der beiden Physik-Koryphäen allerdings ist eher was für Physik-Studenten. Ich halte sie für nicht sehr gelungen.

Auch Pumping-Physics musste sich natürlich dieses Themas annehmen und bietet in der Tat eine für den Schüler/Laien verständliche Erklärung. Auf Seite 183 von Mehr Durchlick mit Physik steht alles:

Hydrostatisches Paradoxon

In einem zylindrischen Gefäß mit zwei unterschiedlichen Durchmessern hängt der Gewichtsdruck am Gefäßboden nur von der Füllhöhe ab. Ist dieser hydrostatische Druck auf den Boden auch für beliebige Gefäße bzw. Behälterformen nur vom Füllstand abhängig?

Mit der teils „paradoxen“ Antwort beschäftigte sich schon im 17. Jh. u.a. Blaise Pascal  und konstruierte den nach ihm benannten Pascalschen Apparat:

2-2-4A - Hydrostatisches Paradoxon-F_farb

Über einen Hebel wird die Bodenplatte T gegen die untere Gefäßöffnung gedrückt und verschließt sie. Der dabei herrschende Druck wird über die Gewichtskraft des Gegengewichtes G ermittelt. Diesen Versuch führt man mit den drei gezeigten Gefäßen, die alle die gleiche Grundfläche haben, durch.

Die auf die gleichen Grundflächen jeweils wirkenden und über die Gewichtskraft FG gemessenen Kräfte, die dann einem bestimmten Druck entsprechen, sind

a) abhängig von der Flüssigkeitsmenge im Gefäß: Oben weite Gefäße erzeugen höhere, nach oben sich verjüngende Gefäße niedrigere Kräfte.

b) je nach Luftdruck und Art der Flüssigkeit ergibt sich eine andere Kraft auf die Grundfläche.

c) der Kraft auf die Bodenfläche ist für alle Gefäße (Formen) identisch.

Antwort

Die Antwort lautet c) Die Kraft auf die Bodenfläche, und somit der Druck am Boden ist für alle Gefäße (Formen) identisch.

Die Flüssigkeit selbst erzeugt einen Gewichtsdruck auf den Gefäßboden. Mit dem Luftdruck p0, der bei einem oben offenen Gefäß noch hinzukommt, ergibt sich als Gesamtdruck in der Tiefe h: p = p0 + rho g h

Der Bodendruck sollte demnach bei konstantem Luftdruck p0 nur vom Flüssigkeitsstand h abhängen, dagegen nicht von der Gestalt des Gefäßes. Wir können im Folgenden den Luftdruck daher außen vor lassen, zumal er im Fall des hier betrachteten Pascalschen Apparates auch von unten wirkt und sich die Druckkräfte der Luft gegenseitig aufheben.

Führt man diesen Versuch an den drei Gefäßen aus, so zeigt sich, dass in allen drei Fällen dieselbe Flüssigkeitshöhe (also nicht die gleiche Menge!) nötig ist, um FG das Gleichgewicht zu halten.

Erklärung:

Argumentieren wir weiter mit den wirkenden Kräften. Alle horizontalen Kraft-Komponenten des Schweredrucks werden von den Gefäßwänden gegengleich abgefangen und können somit außer Acht gelassen werden. Wir betrachten daher nur die senkrecht wirkenden Anteile folgender Kräfte:

  • dünne Linie: Gewichts- (Schwere-) kraft FW des Wassers
  • dicke Linie: Gegenkraft FWand (zum Wasserdruck) der Gefäßwände

Mit einer anschaulichen Betrachtung lässt sich das Prinzip hinter dem hydrostatischen Paradoxon erkennen. Der Einfachheit halber nehmen wir drei rechteckige Gefäße:

a)Quader-mit-Kraftpfeilen&Bez_farb   b)Trichter-mit-Kraftpfeilen&Bez_farb  c)Kegel-mit-Kraftpfeilen&Bez_farb

Im quaderförmigen (entsprechend dem zylindrischen) Gefäß a) haben die Wandkräfte FWand keinen senkrechten Anteil. Sie tragen nicht zur Kraft auf den Boden FB bei. Diese entspricht ausschließlich der Gewichtskraft FW der Wassersäule darüber.

Im trichterförmigen Gefäß b) nehmen die Seitenflächen einen Teil des nun größeren Flüssigkeitsgewichts FW auf (senkrecht nach oben gerichteter Anteil von FWand). Es sind genau die beiden Gewichtsanteile der keilförmigen Flüssigkeitsmengen über den Schrägen. Es bleibt wieder die gestrichelt angedeutete Wassersäule über der Bodenfläche und somit die gleiche Bodenkraft FB wie im Fall a).

In Fall c) des sich verjüngenden Gefäßes hat die Gegenkraft der Wände FWand einen nach unten gerichteten Anteil und vergrößert daher die Kraft auf den Boden. Die abwärtsdrückende Komponente von FWand entspricht wieder genau dem Gewicht der gestrichelt gezeichneten keilförmigen Wassermenge, die bei dieser Gefäßform eben fehlt. Es resultiert wieder eine Gewichtskraft wie von einer über der Bodenfläche senkrechten Wassersäule, d.h. die Kraft auf den Gefäßboden FB ist wieder dieselbe wie im Fall a) des Quaders.

Die ausschließliche Abhängigkeit des Flüssigkeitsdrucks am Gefäßboden vom Füllstand hat zur Konsequenz, dass sich bei allen „verbundenen Gefäßen“, auch kommunizierende Röhren genannt, exakt derselbe Pegel einstellt.

Wirklich paradox.

4 Kommentare zu “Hydrostatisches Paradoxon - jetzt mal anschaulich

  1. Der Beitrag ist in meinen Augen gelungen:
    Das eigenhändig erstelltes Bild über den Versuch von Pascal habe ich so noch nie gesehen und soweit ich weiß, ist sie nicht im Bergmann - Schäfer I drin. Das Bild macht den Paradoxen deutlicher (wieder in meinen Augen) als einfache Manometer, deren Darstellung oft in der Literatur verwendet wird, um den Paradoxen vorzustellen. Auch die Erklärungen passen sehr plausible dazu. Vielen Dank!

    1. Vielen Dank, aschraf!
      Das hydrostatische Paradoxon wird meist nur noch als "etabliertes Wissen" abgehakt. Zuerst sicher noch mit einem gewissen Erstaunen, dann denkt man aber nicht mehr weiter darüber nach - ist eben so. Diese Herangehensweise ist zu einem gewissen Grad für die moderne Naturwissenschaft und Technik auch notwendig und sinnvoll, da niemand alle Erkenntnisse von Grund auf nachvollziehen kann.
      Wenn dies jedoch als einfach gegeben hingenommen wird, werden aber auch die wirklich geeigneten und lehrreichen Themen nicht mehr grundlegend betrachtet. Das hydrostatische Paradoxon ist meiner Meinung nach so ein Punkt. Überhaupt ist es schade, dass sich unsere (Physik-) Schüler heute mit Themen herumschlagen sollen (Nanowissenschaften, Elementarteilchen, Astrophysik,...), die sie schwerlich bis gar nicht mehr erfassen, geschweigen denn langfristig ablegen können. Man sollte stattdessen die anschaulichen Aspekte, wie z.B. aus dem Gebiet der Flüssigkeiten & Gase, aufgreifen und deren reichhaltigen Erfahrungsschatz heben. Viele N&T-Pädagogen sind zu Beginn ihrer Karriere zu starkt auf die High-tech-Themen ihres Faches fokussiert und erkennen erst später, dass die für Schüler wirklich geeigneten Fragestellungen oft ganz woanders liegen.

      Viele Spaß beim Grübeln
      PP

  2. Hallo da ich über diese Thema in der Schule meine Seminarfacharbeit schreibe bin ich auf dieser Webseite gelandet habe jedoch noch nicht ganz verstanden wie die Wandkraft im Beispiel C funktioniert. Darf man das so verstehen, dass die Gegenkraft der Wand größer ist als die Kraft des Wassers auf die Wand und deswegen der Schweredruck auf den Gefäßboden erhöht wird ?

  3. Hallo da ich über dieses Thema in der Schule meine Seminarfacharbeit schreibe, bin ich auf dieser Webseite gelandet, habe jedoch noch nicht ganz verstanden wie die Wandkraft im Beispiel C funktioniert. Darf man das so verstehen, dass die Gegenkraft der Wand größer ist als die Kraft des Wassers auf die Wand und deswegen der Schweredruck auf den Gefäßboden erhöht wird ?

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